Numerik

Ingenieurinformatik Teil 2, Sommersemester 2026

David Straub

Gliederung

1. Einführung in Matlab
2. Arbeiten mit Arrays
3. Funktionen und Kontrollstrukturen
4. Analysis
5. Lineare Algebra
6. Differentialgleichungen
7. Einführung in Simulink

Fahrplan

Letzte Einheit: Funktionen in Matlab darstellen und damit rechnen
→ Polynome: polyval, roots, polyder, polyint, polyfit
→ Function Handles und Anonymous Functions: @(x) ..., fplot

Heute: Numerische Integration
→ Aus Messdaten: trapz
→ Aus einer analytischen Funktion: integral

Numerische Integration

Wiederholung: polyint

Für Polynome gibt es eine exakte Stammfunktion:

p = [-80, 500, 0];          % F(x) = -80x² + 500x
P = polyint(p);             % P = [-26.67, 250, 0, 0]

E = polyval(P, 3) - polyval(P, 0)   % bestimmtes Integral von 0 bis 3

Aber: Was wenn die Funktion kein Polynom ist?

$$U(z) = 3.6 + 0.3\,\tanh(5z - 2.5) \qquad f(x) = e^{-x^2} \qquad I(t) = \text{Messdaten}$$

Für diese Fälle gibt es keine geschlossene Stammfunktion – man muss numerisch integrieren.

Ladung, Strom und State of Charge

Der State of Charge (Ladezustand) $z$ gibt an, wie voll die Batterie ist:

$$z = \frac{Q}{Q_\text{max}} \in [0, 1]$$

Der Strom ist die zeitliche Änderung der Ladung:

$$I(t) = \frac{dQ}{dt} \qquad \Longrightarrow \qquad Q = \int_{t_0}^{t_1} I(t)\,dt$$

Folge: Um $z$ aus Strommessungen zu bestimmen, muss man $I(t)$ integrieren – das ist die Grundlage jedes Batteriemanagementsystems.

Wie viel Ladung wurde gespeichert?

Eine Batterie wird geladen. Der Ladestrom wurde gemessen:

Frage: Wie viel Ladung $Q = \int_0^{60} I(t)\,dt$ wurde gespeichert?

1. Überlegen, Diskutieren und Berechnen Sie das Ergebnis
2. Wie kann das in Matlab gelöst werden? (Ohne Schleife!)

Rechteckregel

$$Q \approx \sum_{i} I_i \cdot \Delta t \qquad \Delta t = 10\,\text{s}$$

$$Q \approx (5.0 + 4.8 + 4.2 + 3.5 + 2.8 + 1.5) \cdot 10 = 218\,\text{As}$$

Einfach – aber der letzte Messpunkt wird ignoriert und die Kurvenform geht verloren.

Trapezregel

$$Q \approx \sum_{i=1}^{n-1} \frac{I_i + I_{i+1}}{2} \cdot \Delta t$$

$$Q \approx \frac{5.0+4.8}{2}\cdot10 + \frac{4.8+4.2}{2}\cdot10 + \cdots + \frac{1.5+0.5}{2}\cdot10 = 195\,\text{As}$$

Die Gerade zwischen zwei Punkten ist eine bessere Näherung als ein Rechteck.

Grafischer Vergleich

t = 0:10:60;
I = [5.0, 4.8, 4.2, 3.5, 2.8, 1.5, 0.5];
Qr = sum(I(1:end-1)*10);
Qt = trapz(t, I);

hold on; grid on;
[xs, ys] = stairs(t, I);
fill([xs; flipud(xs)], [ys; zeros(size(ys))], 'b', 'FaceAlpha', 0.3);
plot(t, I, 'ro');
text(50, 4, sprintf('Qr = %.1f As', Qr));

fill([t, fliplr(t)], [I, zeros(size(I))], 'g', 'FaceAlpha', 0.3);
plot(t, I, 'ro-');
text(50, 3.6, sprintf('Qt = %.1f As', Qt));

Was wenn $\Delta t$ nicht konstant ist?

Messdaten kommen selten mit gleichmäßigem Raster. Die Trapezregel verallgemeinert sich direkt – jedes Intervall hat sein eigenes $\Delta t_i$:

$$Q \approx \sum_{i=1}^{n-1} \frac{I_i + I_{i+1}}{2} \cdot (t_{i+1} - t_i)$$

trapz(t, I) macht genau das – unabhängig vom Raster.

trapz – Diskrete Daten integrieren

t = [0, 10, 20, 30, 40, 50, 60];
I = [5.0, 4.8, 4.2, 3.5, 2.8, 1.5, 0.5];

Q = trapz(t, I)      % → 195 As
Q_Ah = Q / 3600      % → Ah

• Ungleichmäßige Abstände in t sind kein Problem
• trapz(y) ohne t nimmt $\Delta t = 1$ an

cumtrapz – Ladung als Funktion der Zeit

Q_kum = cumtrapz(t, I);

plot(t, Q_kum)
xlabel('Zeit [s]')
ylabel('Ladung [As]')

cumtrapz gibt einen Vektor zurück – die kumulierte Ladung zu jedem Messzeitpunkt:

• Q_kum(1) = 0 (Startwert)
• Q_kum(end) = 195 (Gesamtladung)

Anwendung: State-of-Charge-Tracking in Batteriemanagementsystemen.

Übung: trapz

Messung des Entladestroms einer Batterie (Kapazität 10 Ah, voll geladen):

t = [0,  600, 1200, 1800, 2400, 3000, 3600];  % [s]
I = [8.0, 7.5,  6.8,  5.9,  4.5,  2.8,  0.5]; % [A]

1. Berechnen Sie die entnommene Ladung in As und Ah.
2. Wie viel Prozent der Batterie wurden entladen?
3. Plotten Sie den kumulierten Ladungsverlauf mit cumtrapz.

Denkaufgabe: Adaptives Sampling

Ein Sensor speichert einen Messpunkt nur, wenn sich der Strom um mehr als 100 mA ändert. Eine Batterie (10 Ah) wird entladen, der Laststrom ändert sich abrupt bei $t = 30\,\text{min}$:

t = [0,   1800,  3600];  % [s]
I = [2.0,  8.0,   8.0];  % [A]

trapz(t, I) liefert $Q = 23400\,\text{As} = 6.5\,\text{Ah}$.

1. Was war der tatsächliche Stromverlauf zwischen $t = 0$ und $t = 1800\,\text{s}$?
2. Wie viel Ladung wurde wirklich entnommen?
3. Welche Methode wäre hier treffender, und warum?

Funktionen integrieren: integral

Von diskreten Daten zur analytischen Funktion

Bei Messdaten sind die Stützstellen durch die Messung vorgegeben.

• Mehr Genauigkeit → mehr Messpunkte nötig, aber die hat man oft nicht
• Lineare Interpolation (Trapez) ist die sicherste Annahme

Bei einer analytischen Funktion kann man die Funktion an beliebigen Stellen auswerten.

• integral wählt Stützstellen selbst, schätzt den Fehler ab, verfeinert wo nötig
• Je höher der Polynomgrad der lokalen Näherung, desto genauer – bei gleicher Anzahl Auswertungen

Man rechnet immer noch numerisch – der Unterschied ist: wer die Stützstellen wählt.

Rechteck → Trapez → Simpson: Visueller Vergleich

Historische Anwendung: Kepler’sche Fassregel

$$V = \frac{h}{6} \left(A_1 + 4A_m + A_2\right)$$

Simpson-Regel für die Integration von Querschnittsflächen $A(z)$ über die Höhe $h$ eines Fasses.

Leerlaufspannung

Die Leerlaufspannung (engl. Open Circuit Voltage, OCV) ist die Spannung einer Batterie ohne Stromfluss – sie hängt vom Ladezustand $z \in [0, 1]$ ab.

Elektrochemische Modelle liefern $U(z)$ als Formel, z.B.:

$$U(z) = 3.6 + 0.3\,\tanh(5z - 2.5)$$

fplot(@(z) 3.6 + 0.3*tanh(5*z - 2.5), [0, 1])
xlabel('Ladezustand z')
ylabel('Spannung U [V]')

Frage: Wie viel Energie $E = Q \int_0^1 U(z)\,dz$ ist in einer Batterie mit $Q = 3\,\text{Ah}$ gespeichert?

integral – Funktion integrieren

U = @(z) 3.6 + 0.3 * tanh(5 * z - 2.5);

Q = 3;                          % Kapazität [Ah]
E = Q * integral(U, 0, 1)      % Energie [Wh]

integral(f, a, b) berechnet $\int_a^b f(z)\,dz$ – adaptiv und hochgenau.

f muss ein Function Handle sein und vektorisiert arbeiten (.^, .*).

trapz oder integral?

Übung: integral

Leerlaufspannungs-Kurve einer LFP-Batterie (Lithium-Eisenphosphat, $Q = 10\,\text{Ah}$):

$$U(z) = 3.3 + 0.2\,\tanh(5z - 1.5)$$

1. Plotten Sie $U(z)$ mit fplot.
2. Wie viel Energie ist noch gespeichert, wenn die Batterie auf 20% entladen ist? ($E = Q\int_{0.2}^{1} U(z)\,dz$)
3. Berechnen Sie den Energieinhalt der voll geladenen Batterie in Wh.